Historické úlohy
Vitajte na stránke ermatematika.weblahko.sk v sekcii Historické úlohy
Príťažlivosť matematiky v historických úlohách
Egypt:
Matematické úlohy vznikali v súvislo s tým, že boli nutné výpočty pri stavebných prácach, vyberaní daní, delení majetku, pri vymeriavaní polí.
1. úloha :
Pastiera, ktorý hnal 70 býkov sa pýtali, akú veľkú časť stáda ženie. Odpovedal, že vedie dve tretiny z tretiny dobytka. Koľko býkov teda bolo v celom stáde?
Riešenie: počet býkov v stáde..............x
X . 2 = 70 /.9
3 3
2.x = 630 /:2
x = 315
V celom stáde majú 315 býkov.
2. úloha :
Jeden človek zobral z pokladne jednu trinástinu. Druhý vzal jednu sedemnástinu toho, čo zostávalo.
V pokladni nechal 150. Koľko bolo v pokladni na začiatku ?
Riešenie : počet peňazí na začiatku v pokladni ..............x
1. človek zobral..........................x/13
zostalo........................................x-x/13
2. človek vzal.............................(x-x/13)/17
zostalo.......................................150
x/13 + ( x – x/13) /17 + 150 = x /.221
17x + 13x – x + 33 150 = 221x
29x + 33 150 = 192x
x = 33 150/ 192
x = 172
Na začiatku bolo v pokladni 172.
Mezopotámia :
Dôležitým úspechom mezopotámskych matematikov bolo vytvorenie šesťdesiatkovej pozičnej sústavy,
Prvej v histórii ľudstva. V tomto období nastalo používanie a vedomosti o Pytagorovej vete.
3. úloha :
Máme dva kruhy. Súčet sedminy hmotnosti prvého kruhu a jedenástiny hmotnosti druhého kruhu je rovný jednej. Rozdiel hmotnosti prvého kruhu a jej sedminy sa rovná rozdielu hmotnosti druhého kruhu a jej jedenástiny. Určte hmotnosť každého kruhu.
Riešenie :
hmotnosť 1. kruhu...........x
hmotnosť 2. kruhu...........y
1/7 x + 1/11 . y = 1 /.77
x – 1/7 x = y – 1/11.y
11x + 7y = 77
77x – 11x = 77y – 7y
11x + 7y = 77 (1)
66x = 70y (2) dosadíme z (2) do (1) teda x = 35y/33
dosadíme za x :
11.35.y/33 + 7y = 77 /.33
385y + 231y = 2541
y = 4 1/8 x = 4 3/8
Hmotnosť prvého kruhu je 4 1/8 a hmotnosť druhého kruhu je 4 3/8.
Staroveké Grécko:
Gréci ako prví prišli na myšlienku dôkazu, ktorým dali logickú formu, ktorá sa dodnes dodržuje. Najvýznamnejšími matematikmi boli Tales a Pytagoras zo Samosu.
4. úloha:
Súčet obsahov dvoch Hipokratovových mesiačikov, ktoré ležia medzi oblúkom polkružnice zostrojenej nad preponou a oblúkmi kružníc zostrojených nad odvesnami toho istého pravouhlého trojuholníka, sa rovná obsahu tohto trojuholníka.
Riešenie:
Obsah polkruhu nad priemerom b označíme S1
Obsah polkruhu nad priemerom a označíme S2
Obsah trojuholníka ABC označíme S3.
Obsah polkruhu nad priemerom c označíme S4
Obsah dvoch Hipokratových mesiačikov :
S = S1 + S2 + S3 + S4
Čo bolo treba dokázať.
Helenistické Krajiny a Rímske cisárstvo:
V tomto období tvorili títo významní učenci antického sveta: Archimedes, Apollónius, Euklidus. Archimedes vytvoril nové metódy pre výpočet obsahov a objemov útvarov, ktoré sú ohraničené krivkami.
5. úloha :
Raz išiel po ceste mul s oslicou, obaja naložení vínom. Oslica pod nákladom zastonala, vtedy sa mul, ktorého ona s koňom mala ako syna opýtal, prečo zavzdychala ako mladé dievča. Oslica odpovedala, že sa ťažko pohybuje. On jej odpovedal, že nesie viac a nie je mu zaťažko. Keby od nej vzal jeden mech, mal by dvakrát viac, ako ona, a keby mu ona jeden vzala, mali by rovnako. Kto vraj chce tie čísla uhádnuť, nemusí spočítať ani prsty na oboch rukách.
Riešenie:
Počet mechov oslice...........x
Počet mechov mula.............y
1. prípad : y + 1 = (x – 1 ). 2 (1)
2. prípad : y – 1 = x + 1 (2)
Z (1) vyjadríme y = (x – 1) . 2 – 1 a dosadíme do (2)
(x – 1) . 2 – 2 = x + 1
2x – 2 – 2 = x +1 y = ( 5-1). 2 - 1
x = 5 y = 7
Oslica niesla 5 mechov a mul 7 mechov.
India :
Významným úspechom indickej matematiky bolo vytvorenie rozvinutej algebraickej symboliky. Naša aritmetika je indického pôvodu. Indickí matematici zaviedli a správne vysvetľovali záporné čísla.
6. úloha :
Zo 4 ľudí, ktorí obetovali v chráme, druhý dal dvakrát viac ako prvý, tretí trikrát viac než druhý a štvrtý štyrikrát viac než tretí a všetci spolu dali 132. Koľko dal prvý?
Riešenie :
Prvý dal.................x
Druhý dal..............2x
Tretí dal................3.2x = 6x
Štvrtý dal...............4. 3. 2x = 24 x
Spolu dali...............132
X + 2x + 6x + 24 x = 132
33x =132
x = 4
Prvý obetoval 4.
Čína:
Matematika mala v starovekej Číne veľký význam. Vrcholným úspechom čínskych matematikov v riešení úloh, ktoré vedú k sústavam n lineárnych rovníc s n neznámymi, bola metóda blízka determinantu.
7. úloha :
Niekoľko ľudí spoločne nakupuje barana. Keď každý prispeje piatimi peniazmi, bude chýbať 45 peňazí do ceny barana. Keď každý prispeje siedmimi peniazmi, budú chýbať tri peniaze. Koľko je ľudí a akú cenu má baran.
Riešenie:
Počet ľudí .................x
Cena barana...............y
5x + 45 = y
7x + 3 = y
5x + 45 = 7x + 3 y = 7x + 3
42 = 2x y = 7 . 21 + 3
x = 21 y = 150
Ľudí je 21 a cena barana 150 peňazí.
8. úloha :
Vodná nádrž má 5 prívodných potrubí. Ak otvoríme len prvé, nádrž sa naplní za jednu tretinu dňa, keď len druhú, tak sa naplní za jeden deň, keď len tretiu – tak za dva a pol dňa a keď len štvrtú – za tri dni, keď len piatu – za päť dní. Za koľko dní sa nádrž naplní, keď otvoríme všetky potrubia ?
Riešenie: 1.prívod...............za 1/3 dňa celá nádrž
2.prívod...............za 1 deň celá nádrž
3.prívod...............za 2 a pol dňa celá nádrž
4.prívod...............za 3 dni celá nádrž
5.prívod...............za 5 dní celá nádrž
3x + x + 5x/2 + x/3 + x/5 = 1
45x + 15 x + 6x + 5x + 3x = 15
74x =15
x = 15/74
Nádrž sa naplní za 15/74 dňa.
Islamské krajiny :
Veľkou zásluhou učencov islamských krajín bola popularizácia a šírenie desiatkovej pozičnej sústavy. Mnoho pozornosti venovali učenci islamských krajín numerickej matematike, astronomickým a trigonometrickým výpočtom.
9. úloha :
Ak ku číslu pripočítame alebo od neho odpočítame 3, dostaneme súčet a rozdiel, ktoré sú štvorcom. Nájdite ho.
Riešenie:
x + 3,5 = t2 x + 3,5 = t 2 7 = t 2 - u2
Je to číslo 12,5
Stredoveká Európa :
Toto obdobie neprinieslo významné matematické objavy. Ubehlo tisíc rokov než sa vďaka činnosti neúnavných zástancov a propagátorov vedy podarilo prekonať zúrivý odpor cirkevných činiteľov.
10. úloha :
Pes sa ženie za králikom, ktorý je 150 stôp pred ním. Pes prejde každým skokom 9 stôp a zatiaľ králik prejde 7 stôp. Koľko skokov musí urobiť pes, aby dobehol králika ?
Riešenie:
Počet skokov psa............x
150 + 7x = 9x
150 = 2x
x = 75
Pes musí urobiť 75 skokov.
Novoveká Európa ( 17. – 18. storočie )
V 17. storočí sa značne rozšíril rozsah matematických výskumov. Rozpracovávali sa už existujúce disciplíny, vznikol však celý rad nových oborov vyššej matematiky.
11. úloha :
Dvaja poštári A a B vychádzajú oproti sebe z miest vzdialených 50 míľ. Poštár A prejde 7 míľ za 2 hodiny, poštár B 8 míľ za 3 hodiny, pritom poštár B vychádza na cestu o hodinu neskôr než A. Koľko míľ prejde poštár A do stretnutia s poštárom B?
Riešenie:
Poštár A prejde dráhu 3,5.t za čas t
Poštár B prejde dráhu 8.(t-1)/3 za čas t-1
Vzdialenosť mesta A od mesta B je 50 míľ.
50 = 3,5t + 8.(t-1)/3 /.6
300 = 21t + 16t – 16
316 = 37t
t = 316/37
Dráhu, ktorú prejde poštár A označíme sA.
vA = 7 míľ za dve hodiny............rýchlosť poštára A sA = 7.316/2.37= 29 33/37
sA = vA.t
Poštár prejde 29 a 33/37 míľ.